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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Pruebe las siguientes desigualdades
b) $e^{x} \geq 1+x$
b) $e^{x} \geq 1+x$
Respuesta
Para probar esta desigualdad
Reportar problema
$e^{x} \geq 1+x$
podemos plantear
$e^{x} - 1 - x \geq 0$
definirnos la función $f(x) = e^{x} - 1 - x$, hacer un estudio completo y ver que siempre es mayor o igual a cero.
Arrancamos con el estudio:
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} e^{x} - 1 - x $
Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Saco factor común $e^x$
$\lim_{x \to +\infty} e^{x} (1 - \frac{1}{e^x} - \frac{x}{e^x}) $
Y ahora fijate que $\frac{x}{e^x}$ es una indeterminación "infinito sobre infinito" que se justifica enseguida que tiende a $0$ usando L'Hopital. Por lo tanto,
$\lim_{x \to +\infty} e^{x} (1 - \frac{1}{e^x} - \frac{x}{e^x}) = +\infty$
Ahora calculamos el límite en $-\infty$, acá no hay ninguna indeterminación por suerte:
$\lim_{x \to -\infty} e^{x} - 1 - x= +\infty$
3) Calculamos $f'(x)$:
$f'(x) = e^x - 1$
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$e^x - 1 = 0$
$e^x = 1$
$x = 0$
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $x < 0$
b) $x > 0$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 0$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
b) Para $x > 0$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:
Mirando el gráfico, vemos que efectivamente $f(x)$ es siempre $\geq 0$. Y así la desigualdad que nos planteaba el enunciado queda probada :)